З досвіду роботу

Вступ

Зацікавити учнів математикою, показати її могутність і красу, примусити полюбити її – завдання кожного вчителя математики. Він повинен навчити учнів бачити глибину і стрункість логічних міркувань у математиці і тим самим поступово розкривати їм ще один бік краси і сили математики.

Важливий елемент навчання – позитивні емоції. Уміння бачити цікаве й дивуватись приносить дітям радість, породжує творчі поривання, розвиває уяву, що особливо важливо на уроках математики. Таке вміння слід виховувати й розвивати в учнів систематично як на уроках, та і в  позакласній роботі з математики.

Щоб допомогти вчителеві здійснити всі ці завдання, в посібнику запропоновані різні форми й види роботи з учнями 5 – 6 класів, зокрема короткі історичні відомості, розв’язування цікавих задач, загадок, жартів, софізмів, проведення позакласної роботи із застосуванням математичних розваг.

Зауважу, що чим у більш живій, невимушеній формі подається учням задача, тим краще вони її сприймають, охочіше розв’язують.

Бажаю Вам успіхів та творчого натхнення!

Десяткова система числення. Римська нумерація.

Ми маємо багато стародавніх держав: Індію, Єгипет, Вавілоні, Ассирію, Грецію... Ми навіть знаємо, коли приблизно кожна з них з’явилась. А ось, коли виникла Матема­тична держава, цього ніхто не знає. Але проте, що вона ду­же –дуже 

давня, можна судити з того, що  і у Вавілоні, і  в Єгипті і в Греції, і на Русі і в усіх інших стародавніх державах згадується і Математична. Отже, вона найстародавніша!

       Можливо її заснувала найстародавніша людина, видавши спеціальний наказ?

       Ні. цього не могло бути! Указів найстародавніша людина писати, звичайно, не вміла. Вона, взагалі, писати не вміла, та й держав у той час ніяких не було.

Були у стародавнього чоловіка жінка і двоє дітей. Ось пішов він одного разу на полювання і вбив найстародавнішого кабана. Прийшов додому й ... Що ж він зробив із здобиччю? Ну, звичайно, поділив її на чотири  частини: жінці, синові, дочці й собі. Так з'явилася на світі арифме­тична дія — ділення. Ось як стародавня людина заклала перший камінь Математичної держави.

А потім пішло! Додавання, віднімання, множення... Але стародавня людина не знала, як називаються ариф­метичні дії. І чисел вона не знала. Звичайно, це було дуже, дуже давно. Можна тільки здогадуватись, як усе відбувалося. Людей на Землі ставало все більше, господарства їх зрос­тали. Все важче ставало практично ділити, додавати, від­німати і запам'ятовувати результати. І стали люди дума­ти, як позначити результати цих дій. Спочатку їх позначали камінцями, потім зарубками на дереві, вузлами на вірьовці тощо. 

Все це було дуже незручно. Треба було придумати щось простіше. Але як?

Багато води спливло, перш ніж люди додумались, як розв'язати це питання, і з’явилися на світ цифри. Спочатку вони були мало схожі на наші, сучасні цифри.

Сучасні цифри виникли в Індії. Коли Індію підкорили араби, вони запозичили там й цифри. У IX ст. н. е. видат­ний узбецький математик Мухаммед — син Муси з Хо­резма—створив книжку, в якій використав індійські цифри і нумерацію чисел. Оскільки книжка була написана арабською, панівною тоді, мовою, за цифрами закрі­пилася неправильна назва — арабські цифри. Насправді вони індійського походження. В Європі

цифри набули сучас­ного вигляду в XV ст. після винайдення книгодруку­вання.

У Росії до XVII століття існувала алфавітна старо­слов'янська нумерація.

У ній для зображення чисел використовували 27 букв алфавіту, над якими ставили знак . ■—■ (титло), щоб відрізнити цифри від букв. Перші дев'ять букв позначали одиниці, другі дев'ять — десятки, треті — сотні. Це було дуже незручно: важко було запам’я­товувати стільки цифр, до того ж ними не можна було запи­сувати великі числа. Для великих чисел вводили додат­кові позначення

Уже в першому росій­ському підручнику з ма­тематики Л. П. Магніцького «Арифметика—сиречь наука числительная (1703 р.) тільки сторінки були позначені за допомо­гою старослов'янської ну­мерації, а в тексті всюди фігурували сучасні цифри.

Коли б на ножній руці було по 6 пальців...

Учитель (звертається до учнів): чи замислюва­лись ви над тим, якою була б наша система чис­лення, якби людина мала на кожній руці не по 5, а по 6 пальців? Тоді, очевидно , загальноприйнятою

 була б не десяткова, а дванадцяткова система числення, в основі якої було б не число десять, а число дванадцять — дюжина. Дюжина одиниць становила б одну одиницю другого розряду, а дюжина дюжин — одну одиницю третього розряду і т. д. Така система числення  була в стародавніх римлян.

  Проте більшість народів обрала десяткову систему числення.

Адже десять пальців рук — це множина, з якою первісна людина практично порівнювала всі інші множини, аж поки не з’явилася нова, зручніша множина — множина натуральних чисел.

Вважають, що римські цифри відповідають кількості пальців руки:

I   — один палець

II — два пальці

III                      — три пальці

V — кисть руки

 X — дві кисті руки

Коли пальців рук і ніг вже не вистачало для того, щоб полічити потрібні предмети, почали лічити за допомогою камінців, вузлів на вірьовці, зарубок на палиці тощо.

Окремі індійські племена в Бразилії лічили тільки до п'яти (до числа пальців на одній руці), а все, що більше п'яти, в них означало “багато”. Був час, коли найбільшим числом вважали число три. Про це свідчить той факт, що числа, менші від трьох, мали окрему назву: один — сонце або місяць, палець; два - очі або вуха, крила, руки. Число 3 позначалося словом «багато». Звідси пішли різні заклинання, благословення, прислів'я: «Бог любить трійцю», «Тричі благословенний», «Набравсь три копи лиха», «Ходила три дні, та виходила злидні» і т. д. «Три» вважали числом божественним, священним, символам досконалості. В римлян богиня полювання Діана, а в Індії бог Шіву зображалися з трьома обличчями.

         Пізніше роль граничного (найбільшого) числа почали відігравати число сім. Про це свідчать  приказки і         прислів’я, пов’язані з цим числом: «Сім раз відмір, раз відріж», «Семеро одного не ждуть», Юдин з сошкою, семеро з ложкою», «Сім верст до

небес — і все лісом», «Сім п’ятниць на тиждень» та інші.

Пізніше найбільшим числом стало 12 (дюжина), а на­ступне за ним число вважали вже зайвим, «від лукавого», нещасливим, і назвали його «чортовою дюжиною». У царській Росії в деяких містах не було тринадцятого но­мера трамвая і квартир № ІЗ. Навіть у 1930 р. в Лондоні кілька тисяч чоловік підписало петицію з вимогою про за­міну на будинках усіх номерів 13. Організовано клуби для «боротьби з числом 13». У Парижі Існували спеці­альні контори, які посилали свою людину туди, де випад­ково на обіді збиралося 13 чоловік. У США в деяких ви­сотних будинках нема поверху № 13, а в готелях — кім­нати  № 13.

Наприклад, число 8 вважали символом смерті і і тільки тому, що сума цифр добутків чисел від 1 до 8 на 8 зменшується від 8 до 1:

Добутки                                           Сума цифр добутків

      1•8=8                            0+8=8

      2•8=16                                 1+6=7

       3•8=2                                   2+4=6

       4•8=3                                   3+2=5

       5•8=40                                 4+0=4

       6•8=48          4+8=12            1+2=3

       7•8=56          5+6=11            1+1=2

       8•8=64          6+4=10            1+0=1

Число 9, навпаки, вважали символом сталості, мудрос­ті. долі, оскільки сума цифр добутків чисел першого десятка на 9 стала, причому дорівнює 9:

Добутки                                                       Сума цифр добутків

1•9=9                                0+9=9

2•9=18                              1+8=9

3•9=27                              2+7=9

4•9=36                              3+6=9

5•9=45                              4+5=9

6•9=54                              5+4=9

7•9=63                              6+3=9

8•9=72                              7+2=9    

9•9=81                              8+1=9

10•9=90                             9+0=9

На цій властивості ґрунтується ознака подільності чисел на 9, відома нині кожному шестикласнику. І нічо­го таємничо-містичного тут немає.

Багато, дуже багато часу минуло, поки людина зрозу­міла, що найбільшого числа немає, що множина натуральних чисел нескінченна.

Що означає мільйон?

Шеренга з мільйона чоловік, що вишикувались плечем  до плеча, простяглася б на 500 км.

Мільйон днів — це більше, ніж 27 століть. Від початку нашої ери людство ще не прожило мільйона днів.

Приблизно мільйон днів минуло з часу проведення перших олімпійських ігор (776 р. до Н. С.).

Щоб пройти відстань, яка дорівнює відстані від Землі їй Сонця (приблизно 150 мли. /км). поїзду, що рухається зі швидкістю 75 км/год,. потрібно

було б 2 000 000 годин. тобто приблизно 200 років.

Артилерійський снаряд, швид­кість якого 5000 км за годину, пролетів би цю відстань приблизно за 3,5 року.

Мільйон наперстків води важать більше від 1 т.

Якщо почати в V класі лічити підряд натуральні чис­ла по 8 годин на добу, то до мільйона можна долічити, став­ши вже сивим дідусем.

Термін «мільйон» італійського походження. Вперше його вжив V своїй книжці італійський мандрівник Марко По­ло (XIV ст.).

Мільярд або більйон

Секунда — одна мить, а мільярд секунд — близько 32 років.

Спробуй зменшити 1 мм на папері в 10 раз. Важко, все зливається... А спробуй уявити міліметр, збільшений у мільярд раз. Це буде 1000 км  — більше, ніж відстань під Києва до Москви. Людина, яка б вона не була балаку­че, ніколи за все своє життя не промовить більше як мільярд слів.

Термін «мільярд» в його нинішньому значенні як тисяча мільйонів почали вживати в XVI ст. і стали використову­вати, починаючи з XIX ст. нарівні із словом більйон у багатьох країнах. Але до цього часу не існує єдиної системи назв для великих чисел . Так, у деяких країнах «більйон» означає мільйон мільйонів.

Слово «мільярд» часто вживають, коли хочуть підкресли­ти, що чогось багато, не задумуючись, що насправді означає мільярд.

Скільки волосин?

Скажи,— звернувся до п’ятикласника стерши брат,— скільки у тебе на голові волосин?

Мільярд.

Ти трохи помилився! В середньому в людини  на голові близько   200 000 волосин. Отже, мільярд волос буде у 5 тисяч чоловік!

Цікаві вправи

1. Виразити в роках мільярд хвилин.

Відповідь. Приблизно 2000 років.

2. Пульс здорової людини становить 4200 ударів на годину. Скільки ударів серця відбудеться  у такої людини протягом першого навчального півріччя?

Відповідь. Приблизно 12 мли. ударів.

3. Наше серце робить приблизно 70 ударів за хвилину.При кожному ударі воно, як насос, перекачує 100 г крові.! Скільки крові перекачує серце за одну добу? За перше нав­чальне півріччя?

В ід по в ід ь. Приблизно 10 тис. л; 1 мли. 230 тис.

4. Знайти відстань від Землі до Сонця, знаючи, що світло від Сонця доходить до Землі за 8 хв 18 сек. Швидкість світла близько 300 000 км за секунду.

Відповідь. Приблизно 150 мли. км.

5. Кубічний метр розрізали на кубічні міліметри і з них виклали доріжку з поперечним перерізом 1 кв. мм. За який час можна пройти вздовж цієї доріжки, йдучи з середньою швидкістю 5 км за годину?

Відповідь. За 200 год

Гра «Tвoя  улюблена цифра»

Помнож свою улюблену цифру на 9 і на знайдений добуток помнож восьмицифрове число 12345679. В результаті дістанеш число, написане тільки твоєю улюбленою цифрою.

Наприклад: улюблена цифра 5. Тоді 5•9=45

12345679

              45  

  61728395

                              49382716

                                 555555555

Такий результат маємо тому, що добуток числа 12345679 на 9 є число, записане за допомогою тільки цифри 1.

Ігри з паличками

1 Хто більше чисел зобразить за допомогою: а) двох паличок; б) трьох паличок?

Відповідь.

а) I, II, V, X, L;     б) III, IV, VI, IX, XI, LI.

2  Жарт. Як з чотирьох паличок зробити двадцять, не ламаючи їх?

Відповідь. XX.

   

Історія знаків  =, >, <.

Знак рівності ввів у XVI ст. англієць Р. Рекорд у вигля­ді двох  невеликих горизонтальних паралельних відрізків. Цей знак  викарбувано на могильному камені Рекорда. Проте  оскільки нові друкарські знаки в ті часи запроваджувалися дуже повільно, навіть у XVII ст. багато авторів  для позначення рівності користувались двома паралельними  вертикальними відрізками або словом«дорівнює».

 

Зате легко ввійшли в ужиток знаки > і <, бо друкарні мали можливість використовувати знак V (римське 5 який існував з давніх-давен і в іншому положенні давав знаки > і <. Ці знаки вперше зустрічаються о XVII ст у працях англійського вченого Т. Гарріота.

Розв’язування задач за допомогою рівнянь.

   Пам’ятки стародавньої культури Єгипту свідчать, що вже 4 тисячі років тому деякі задачі розв'язували за

допомогою рівнянь. Правда, робили це дещо інакше, ніж тепер, бо в ті часи не було навіть буквеної символіки, і все записували словами.

Великий грецький математик Діофант (III ст. и. е.) багато зробив для розвитку математики. Він ввів деякі буквені позначення, щоб полегшити розв'язування рівнянь. Коефіцієнт Діофант ставив не перед змінною, як це робимо ми, а після змінної.

Відгадати загадки за допомогою рівнянь.

1.Скільки кому років?

Мій брат на 2 роки старший за мене, моя сестра на 4 роки старша за брата, моїй мамі було 28 років, коли я народився, а вчора я підрахував, що загальний вік усіх чотирьох – 84 роки. Скільки кожному років?

Алгебраїчний спосіб

Позначимо через х кіль­кість років  хлопчика-розповідача:

X+(X+2)+(X+2+4)+(X+28)=84

X=12

Відповідь: 12, 14, 18, 40 років.

2.

У одній коробці в мене є жуки,

У другій такій коробці — павуки.

Небагато їх, і легко полічить:

Павуків з жуками разом шість.

Став лічити, скільки всього ніг,

Але швидко це зробити я не зміг.

Сорок ніг я налічив, нарешті, там

І загадку всім задати хочу вам:

Відгадайте, скільки маю я жуків

І окремо скільки а мене павуків?

Рівняння: 6 • X+ 8 • (6 — X) = 40.

Відповідь. 4 жуки і 2 павуки.

3. Летіли гуси, а назустріч їм гусак: «Здрастуйте, сто гусей»,— каже,— «Нас не сто. А щоб було сто, тре­ба ще стільки та два рази по стільки і ще чотири». Скіль­ки летіло гусей?

Відповідь. 24.

4. Летіли голуби й сіли на дуби: як сядуть по одному на дуб, то дуба не вистачить, як сядугь по двоє,— один дуб вільний. Скільки було голубів і скільки дубів?

Рівняння: 2 • (X— 1) =X + 1.

Відповідь. 4 голуби і 3 дуби.

5. У хлопчика стільки ж сестер, скільки й братів, а в його сестри сестер вдвоє менше, ніж братів. Скільки в сім’ї сестер і скільки братів?

Рівняння: (Х- 1) •  2 = Х + 1.

Відповідь: 3 сестри і 4 брати.

Ігри

     

1.Гра  з «Арифметики» Л. П. Магніцького

Занумеруємо дні тижня так: неділя—перший день, поне­ділок другий і т. д. Задумайте будь-який день тижня, помножте його номер на 2, додайте до добутку 5. помножте суму на 5, допишіть до знайденого числа справа нуль і назвіть результат.

Ведучий від названого результату віднімає 250. Ця різниця завжди виражає круглі сотні. Цифра сотень дає номер задуманого дня.

Коли гру проводять на уроці, кожний учень задумує

свій день тижня і виконує всі пропоновані вчителем обчислення. Потім учні по черзі називають результат, а вчитель відгадує задумані дні. Після цього діти повинні пояснити «секрет» фокуса.

2. Відгадування числа і місяця народження

Число свого дня народження помножте на 2, а потім на 10. До добутку додайте 73. Знайдену суму помножте на 5. До результату додайте порядковий номер місяця свого дня народження. Назвіть результат.

Ведучий від названого результату віднімає 365. Перш дві цифри різниці дають число дня народження, останні дві — порядковий номер місяця.

Наприклад, нехай день народження « 17 січня. Тоді:

((17  •   2 •  10 + 73 ) •   5 + 1) - 365 = (1701 + 365) -365) =1701.

Задумай-відгадаю

Задумайте будь-яке число до 10. Помножте його на 2. До добутку додайте задане мною число, наприклад 8. Знадену суму поділіть на 2 і від частки відніміть задумане число. У результаті буде 4.

Пояснення. В результаті завжди буде половин заданого «факіром» числа. Нехай задумане число a, a число задане «факіром», Ь. Тоді

(2а + Ь) : 2 - а = Ь : 2.

4.Задумай оцінку — відгадаю

Помножте задуману оцінку на 2. до результату додайте 5.

Знайдену суму помножте па 5. Назвіть результат.

Ведучий від названого результату віднімає 25. Якщо результат трицифрове число то перші зліва дві цифри різниці дають задуману оцінку. Якщо результат двоцифрове число перша  зліва цифра різниці дає задуману оцінку.

Пояснення. Нехай задумано оцінку а («4»). Тоді

(2а + 5) •   5 = 10а +25:                 (8+5) •  5 = 65;

10а +25-25=10а              65-25=40

Як виникли знаки + і  —?

 Сучасні знаки + і  — стали загальновизнаними. починаючи з XVII ст. Уперше ці знаки з'явилися в праці Лейпцігського професора Й. Відмана (1489).

Вважають, що знаки + і — виникли з торговельної практики: знак—для позначення недостачі, збитку, а знак + для позначення прибутку.

У різних  народів знаки додавання і віднімання спочатку мали  різну форму. Так, у стародавніх єгиптян знак  плюс нагадував зображення двох ніг, що рухалися вперед, а знак мінус — зображення двох ніг, що рухалися назад.

Цікаві вправи

Коли так буває?

а) 85+Х=85-Х;                                Х+100=100-Х.

Відповідь. Сума двох чисел дорівнює їх різниці тоді, коли один з доданків і від'ємник дорівнюють 0, отже Х=0.

б) 240-Х=Х;                         300-У=У.

Відповідь . Різниця дорівнює від’ємнику тоді, ко­ли зменшуване вдвоє більше, ніж від'ємник, отже, Х =120;           У=150.

Конкурс ікса:

1)                                8 * * 2 7

                          + * 3 2 * 4

                             4 2  1 1 *

              

                          2 2 0 3 1 9

2)                                * 3 4 * 3

                         -      9 * 3 *

               

                                 * 6 0 8

Відповідь:

1)     84927

       +93274  

         42118

 

          220319

2)         13483

          -   9875

  

           3608

3)         Хто точніше і хто швидше:

99+1=

999+10=

9999+100=

99990+1000=

999900+10000=

99900+1000=

9990+100=

990+10=

Жарти

1.У Володі 5 братів. Кожен брат мас сестру. Скільки в нього братів і сестер разом?

Відповідь. 6.

2.Жили собі 3 сестри. У старшої було 3 сини й 3 доч­ки. У середньої  2 сини й 2 дочки. У найменшої  1 син і одна дочка. Скільки всього було братів і сестер?

Відповідь. Братів — 6, сестер — 9.

3.Винахідливий.

— Назви-но Грицю, десять птиць.

— П'ять горобців і п’ять синиць.

4.Чи можна із 40 грн. зробити 60 грн?

З каси, в якій було 40 грн. забрали гроші за 4 рази так:

Першого разу взяли 10 грн., залишилося 30 грн.

Вдруге       »         10 грн .,            »       20 грн.

  Втрете        »         10 грн.,              »       10 грн.

 Вчетверте   »           10 грн.,              »         0 грн.

Разом                   40 грн.                     60 грн.

Звідки взялося 20 грн.?

Відповідь. Сума остач не дорівнює сумі вилучень.

Гра »Хто краще знає закони множення?»

Цю гру доцільно провести, вивчаючи розподільний закон множення відносно додавання. Нехай хтось з учнів запише який-небудь добуток двоцифрового числа на двоцифрове, наприклад 79 • 54. А ви додайте до нього свій добуток двоцифрового числа на двоцифрове, але такий, щоб один з його множників був доповненням до 100 одного з множ­ників добутку, заданого учнем, а другий був той самий:

79 • 46. Результат можна записати відразу: 7900. Справ­ді. 79 • 54 + 79 • 46 = 79 • (54 + 46) = 79 • 100 = 7900.

Пояснивши учням суть гри,  можна записати  2—3 стовпчики (відповідно до кількості рядів парт у класі) добутків двоцифрових чисел і запропонувати учням по черзі з кожного ряду виходити до дошки, щоб дописувати доданком відповідні добутки й знаходити суми. Наприклад:

37 • 87 + ... =                  63 • 88 +… =

56 • 78 + ... =                                     72 • 85 +… =

42 • 48 + ... =                                     34 • 49 +… =

36• 91+…=                       76• 48 + ... =

Виграє той ряд, який

 швидше (і правильно виконає вправи свого стовпчика. Учні ряду-переможця дістають звання «Магістра Дії Множення».

Історія знака ділення

У різні часи дію ділення записували по-різному. Дов­гий час спочатку записували дільник, потім ділене, а за­мість знака ділення писали дужки.

Араби, а пізніше і європейці для позначення ділення писали горизонтальну риску. Фламандський математик Сімон Стевін (XVI ст.) як знак ділення застосовував букву D. Дві крапки як знак ділення запропонував Лейбніц (1684 р.).

Терміни «ділення», «ділене», «дільник» в сучасному ро­зумінні почали вживати в X ст. Результат ділення ще довго називали «сумою ділення». Термін «частка» з’явився в XIII ст. в італійського математика Леонардо Пізанського.

Цікаві вправи

Діли швидко й не помились!

75 : 25 =                                               55 : 5 =

750 : 250 =                                 5555 : 55 =

7500 : 2500 =                             555555 : 555 =

75000 : 25000 =                         55555555 : 5555 750000 : 250000 =                      505505 : 505 =

Відгадаєш, якщо поділиш…

1) Я задумав число, яке більше від З0 в стільки разів, у скільки разів 180 більше від 12. Яке число я задумав?

2) Я задумав число, яке менше від 350 в стільки ра­зів. у скільки разів 40 менше від 280. Яке число я задумав?

Сім раз міряй, а відріж...

1) У майстерні від сувою тканини, в якому було 80 м. щодня відрізали по 10 м. Якого дня відрізали останній кусок тканини?

Відповідь. Сьомого дня.

2) За 7 хв колоду розрізали на півметрові куски. Кожне розпилювання тривало 1 хв. Знайти довжину колоди.

Відповідь. 4 м.

Жарти

1. Чотирнадцять кролів поділіть між чотирнадцятьма учнями так, щоб кожному дати по одному кролю і щоб один кріль залишився в клітці.

Відповідь. Одному учневі треба дати кроля з кліткою.

2. Пара коней пробігла 20 км. По скільки кілометрів пробіг кожен кінь?

3.Качка, стоячи на одній нозі, важить 2 кг. Скільки во­на важитиме, якщо стане на обидві ноги?

4.По діброві двоє хлопчиків ішли і по 10 білих грибів знайшли. Іншого разу п'ятеро хлопчиків пішли. Скіль­ки вони білих грибів знайшли?

Відповідь. Невідомо.

5. Ішли два батьки і два сини, знайшли три апельсини і поділили їх між собою по цілому. Як це могло статися?

Відповідь. їх було троє: дід, його син І онук.

Цікаві вправи і задачі на всі дії а натуральним чис­лами і нулем

Перевірте свою кмітливість

 1)     1 + 3 = 4 = 2² ;

1 + 3 + 5 = 9 = 3²;

1+3 + 5 + 7 = 16 = 4²;

1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 = 5²;

Продовжіть запис за допомогою мал. Поясніть, за яким законом його складено, напишіть загальну формулу:

2) Продовжіть до дев'яти членів ряд чисел, складений за певним законом: 4. 7, 12, 21, 38, … .

Відповідь. 7 = 4 • 2 – 1

   12 = 7 • 2 – 2;

     21 =    12 • 2 – 3 і т. д.

3) Не переставляючи цифр, поставте між ними знаки дій додавання і ділення та дужки так, щоб у кожному рядку в результаті була 1.

1  2  3  =  1                          1  2  3  4  5  =  1

1  2  3  4  =  1                     1  2  3  4  5  6  =  1

Відповідь:

(1 + 2) : 3  =  1           ((1 + 2) :  3 + 4) : 5  = 1

12 : 3 : 4  =  1             (12 : 3 : 4 + 5) : 6  =  1

Загадки-жарти

1. В якому місяці діти найменше плачуть?

В і д п о в і д ь. У лютому.

2. Коли дід буде молодший за онука?

 У літаку, що прямував до Країни Знань, було два пасажири дід і онук. Цікава парочка! Уявіть собі, онук щоразу старіє в кілька разів швидше, ніж дід. І як це у  нього виходить? Не розумію! 40 років назад дід був старший  за онука в 10 раз. а зараз він старший за онука тільки в 2 рази. Мабуть скоро їх вік зрівняються? А потім дід стане молодший за онука!?

Чи можна дізнатися, коти дід стане вдвоє молодший за онука.

3. Назвіть підряд 5 днів тижня, ке використовуючи назв днів і порядкових чисел.

В і д п о в і д ь. Позавчора, вчора, сьогодні, завтра. післязавтра.

4. Мій дід старший за мого батька на 24 роки, а мій батько на  стільки ж старшин за мене Скільки років кожному з нас, якщо 2 роки тому нам разом не було й 100 років?

В і д лов і д ь. 11. 35 і 59.

5. Один учень розв'язав задачу за 1 год. За який час розв’яжуть цю задачу 10 учнів?

6.  10 насосів за 10 хв викачують 10 т води. За скільки  хвилин 25 насосів викачають 25 т води?

М і д п о в і д ь. За 10 хв.

ДЕСЯТКОВІ ДРОБИ:

ЧИТАННЯ І ЗАПИС ДЕСЯТКОВИХ ДРОБІВ. ПОРІВНЯННЯ ДРОБІВ.

З історії виникнення десяткових дробів

Десяткові дроби були відомі з давніх-давен. У деяких країнах Азії вони застосовувалися ще до нашої ери.

У XV ст. знання про десяткові дроби значно розвинув провідний учений найкращої на тон час у світі Самарканд­ської астрономічної обсерваторії пл-Каші. У творі «Ключ до арифметики» (І427 р.) він дав правила дій над десятко­вими дробами. Десяткові дроби ал-Каші зображав різними способами: цілу частину відокремлював вертикальною рис­кою або писав її іншим кольором або надписував над циф­рами назви розрядів.

Згодом десяткові дроби з’являються і в Європі. У 1585 р. вийшла праця про десяткові дроби нідерландського Інженера Сімона Стевіна. Ось яку незручну форму запису мало в цій праці, наприклад, число 35,912.

5 (0) 9 (1)  1 (2)  2 (3)

Як бачимо, в записі між цілими і десятині частинами стоїть кружечок з цифрою ( ) усередині. Після цифри десятих стоїть кружечок  з цифрою 1, між цифрами сотих і тисячних — кружечок з цифрою 2 і т.д. Цифрі в кружечках після кожного розряду в дробовій частин запису вказують на порядок розрядів: 1 — десяті, 2 - соті і т. д.

Кому як знак запропонував англійський математик Непер у 1617 р. Але ще раніше її застосовувала (Німецький учений Кеплер та італійський астроном Маджіні.

Цікаві вправи

1.Нулик Десятченко твердив, що з десяткових дро­бів той більший, в якого більше нулів, а дроби з однаковою кількістю нулів рівні. Знайдіть і виправте його по­милки:

14,7 < 14.70                           3.405 < 3.4050

0.0004 > 0.004                       0.3040 > 0.34

6.307 = 6.037                         3.000304 > 3.00304

2. (Вправа на слух). Що більше й на скільки: нуль кома дев'ять чи нуль кома десять? (Перевірте відповідь, записавши ці числа).

 3. Поставте замість зірочок такі цифри, щоб бу­ли правильними нерівності:

9,* > 9,58* > 9,* > 8,9*

7,7* <  7,7* < 7,7** < 7,7***.

4. Непорозуміння.

Володя прислав Федору  записку такого змісту: «Від’їжджаємо поїздом 11.11 об 11,4 год». Федя прийшов на вокзал До поїзда, що мав вийти об 11 год 40 хв, але його вже не було. Чому сталося таке непорозуміння? О котрій годині відійшов поїзд?

Відповідь. Об 11 год 24 хв.

5.Хто швидше? Замість зірочок запишіть такі цифри, щоб справджувалися нерівності:

1 варіант                                2 варіант

                   4,* > 4,4                                 5,5 > 5,*

                   4,4* < 4,444                           5,55 > 5,5*

                   4,44* < 4,444                         5,555 < 5,55*

                   4,444* < 4,4444                     5,5555 > 5,55*

                   4,44* >  4,444                        5,55* < 5,555

                   4,4* > 4,44                             5,5* > 5,55

                   4,* < 4,4                                 5,* > 5,5

6. Який знак треба поставити між числами 5 і 6, щоб вийшло число, більше від 5,але менше від 6?

Величина

( Оповідання )

Позаздрила Одиниця Десяті: «Звичайно, з такою круг­ленькою цифрою, як цей нуль, я теж дещо значила б»

Тому, коли одиниці вдалося, нарешті, придбати Нуля, вона не поставила його позаду себе, як у Десятки, а виста­вила наперед — нехай, мовляв, усі бачать!

Вийшло досить солідно: 0,1.

Потім правдами й неправдами Одиниця ще один Нуль підхопила і теж виставила його наперед. Дивіться, які ми: 0,01.

Одиниця стала добирати смаку. Вона тільки й думала, як би побільше Нулів накопичити, і після великих зусиль зібрала їх у значній кількості.

Т     епер Одиницю не впізнати. Вона стала поважною — куди до неї якійсь Десятці. Тепер вона виглядає так: 0,000000001.

Он якою величиною стала Одиниця!

 (Вчитель пропонує учням прочитати це число. Визначи­ти, в скільки разів зменшилась Одиниця).

Додавання і віднімання

Цікаві вправи

1. Яких цифр тут не вистачає?

1,*2 + *,3* =  1,33;

0,** + 0,** = 0,04;

0,0* + 0,0* + 0,* = 0,04.

2. Хто швидше?

І варіант

0,9 + 0,1

0,99 + 0,01

0.999 + 0,001

0,9999 + 0.0001

0,99999 + 0,00001

0,99999 + 0,0001

            0,9999 + 0,001

            0,999 + 0,01

0,99 + 0,1

II варіант

0,8 + 0,2

0,88 + 0.22

         0.888 + 0,222

0,8888 + 0,2222

0.88888 + 0,22222

0,88888 + 0,2222

0.8888 + 0,222

0.888 + 0.22

0,88+ 0.2

2.     Розв’яжіть рівняння і для кожного з них запишіть множину натуральних чисел першого десятка, що його не задовольняють

13,4 – х = х

14,8 – 2х = 6,8

8,6 – х = 3,6

Множення і ділення

 

Цікаві вправи

1.Знайдіть і виправте помилки:

11,11 : 11 = 1,1;

6,2 : 62 = 0,11;

6,4 : 3.2 = 2,2;

2,46 : 1,2 = 2,5.

2.Чи можливо поділити круг на такі чотири частини:

а) 0,3;  0,3; 0,2; 0,1     6) 0,2; 0,2; 0,3; 0,3?

Хто швидше?

I варіант

1,01 : 0,1

1,001 : 0,01

1,0001 : 0,01

1,00001 : 0,0001

1,0001 : 0,00001

1,001 : 0,0001

1,001 : 0,001

II варіант

1,2:0,12

12,12:0,12

121,2:0,012

1212 : 1,2

121212:0,12

1212 : 0,12

12: 0,12

Числовий фокус

Задумайте будь-яке число від 1 до 10. Таке саме число вам я вам «позичаю», і ще «даю» вам 4,2. Додайте всі 3 числа. Знайдену суму поділіть на 2. Поверніть мені позичене число, і у вас залишиться 2,1. Як я вгадав результат?

Відповідь. У результаті буде половина числа, яке «дає» вчитель:       (х + х + 4,2) : 2 — х - 4,2 : 2 = 2,1.

Чи знаете ви?

Чи знаете ви, що найменший птах на землі — колібрі — важить 1.8 г. а найбільший — страус — 90 кг? У скільки зів страус важчий від колібрі?

Спробуй відгадати:

1. Коли запитали вівчара, скільки овець в отарі, він відповів: 300 овець п’ють воду, а 0,7 усіх овець пасуться. Скільки овець в отарі?

Відповідь. 1000.

2. 5 чоловік за 5 днів прокладають під землею 5,5 км кабеля. За який час 20 чоловік прокладуть 11 км кабеля, працюючи з тією самою продуктивністю?

Відповідь. За 2,5 дня.

3. Скільки ти важиш,—запитали в п’ятикласника? — 0,28 ц і ще 0,2 своєї ваги, — відповів той. Скільки важить учень?

Відповідь: 35 кг

ЗАДАЧІ І ВПРАВИ НА ВСІ ДІЇ З ДЕСЯТКОВИМИ ДРОБАМИ

Допоможіть рибалкам

Довжина голови рибини дорівнює довжині хвоста. Коли б голова рибини була б вдвоє довша, то довжина голови і хвоста разом дорівнювала б довжині туші. Яка довжина окремо голови, хвоста і туші, якщо довжина рибини 31,5 см?

Відповідь. 6,3 см; 6,3 см; 18.9 см.

Хто раніше?   

Слимак піднімається на дерево за день на 0.6 м і опуска­ється за ніч на 0,2 м, а мурашка проходить угору по дере­ву за день 0,8 м, а за ніч опускається на 0,4

Хто з них раніше підніметься на вершину стовпа ви­сотою 8 м?

Відповідь. Мурашка, в кінці 19-го дня.

Жарти

1. Один хлопчик нарвав 12,5 кг яблук за годину. Скіль­ки яблук нарвуть 5 учнів за годину?

2.У поштовому відділенні за день прийняли 20 поси­лок загальною вагою 80,8 кг. Скільки важить 10 посилок?

Відповідь. Невідомо (до обох задач).

Одну хлібину випікають за півтори годний. За скіль­ки годин випечуть 100 хлібин?

Софізм

«Двічі по два — тринадцять»

2,4 : 2.4 = 2.6 : 2,6;

4 (0,6 : 0,6) = 13 (0,2 : 0,2);

4 = 13;

2•2= 13 (!)

Відповідь. Перехід від першої рівності до другої незаконний.

ДОДАТНІ І ВІД'ЄМНІ ЧИСЛА

Поняття про від’ємні  числа.

Відомо, то натуральні числа виникли за давніх-да­вен у зв'язку з лічбою предметів. Потреби вимірювання, поділу на частини згодом привели до дробових чисел. А от від'ємних чисел не знали ні стародавні єгиптяни і ва­вілоняни, ні греки.

Як же виникли від'ємні числа? Давайте послухаємо опо­відання, в якому від’ємні числа самі розкажуть про себе.

Монорейковий шлях до визнання

— Виникли ми, від'ємні числа, в Китаї в І ст. до нашої ери в зв'язку з розв'язуванням рівнянь. Оскільки в ті часи знаків плюс і мінус іде не було, то нас, на відміну від додат­них чисел, зображали іншим кольором. Додатними чис­лами позначали майно, наявні гроші, прибуток. їм раді­ли і зображали їх червоним кольором (китайці їх називали «чен»); від'ємними числами позначали борг, збиток і зобра­жали їх чорним кольором (їх називали «фу»).

Індійські математики Брахмагупта (VII ст. н е ) I Бхаскара (XII ст.) склали правила дій для від'ємних і додатних чисел:

«Сума майна і майна є майно».

«Сума двох боргів є борг».

«Сума майна і боргу дорівнює їх різниці».

«Сума майна і такого самого боргу дорівнює нулю». «Добуток боргу на борг є майни» і т. д.

Але важко було уявити, як це з боргів (перемножених) може вийти «майно»? Тому довгий час від'ємних чисел не визнавали, вважали нас несправжніми, абсурдними, фік­тивними. Бхаскара так і писав: «Люди не схвалюють від єм­них чисел».

Тяжко нам було пробиватися в математику. В Європі вперше про нас згадує італійський математик Леонардо Пізанський (Фібоначчі, XII—XIIIст-). Німецький матема­тик Михайло Штіфель (XVI ст.) називає нас «числами, меншими ніж ніщо» (меншими від нуля). Він пише: «Нуль міститься між істинними і абсурдними числами».

У XVII ст. французький математик Рене Декарт у слав­нозвісній книзі «Геометрія» зобразив нас за допомогою монорейкової дороги. «Монос» слово грецьке і означає «один», отже, монорейкова дорога — дорога з однією рейкою. Як лінійка. Але на лінійці відкладено лише додатні числа (справа від нуля). А на монорейковій дорозі, крім того, вліво від нуля відкладають від ємні числа. Тепер, коли ми, від'ємні числа, розміщені поряд з вами, додатними числа­ми, на одній рейці і розділяє нас лише нуль (ніби нульова станція метро), ми хочемо стати разом з вами дійсними членами, елементами однієї множини. А щоб ви перекона­лися в тому, що ми корисні, пропонуємо розв'язати одну задачу алгебраїчним і арифметичним способами.

Задача. Вані 15 років, а Тетянці 9. Через скільки років Ваня буде вдвоє старший за Тетянку?

1. Розв'язання алгебраїчним способом

Позначимо шукане число років через х. Тоді Вані через х років буде (15 + х) років, а Тетянці (9 + х) ро­ків. За умовою матимемо:

(9 + х) • 2 = 15 + х ,

18 + 2х = 15 + х;

18 + х = 15.

    Звідси х  = 15-18

Від 15 не можна відняти 18, бо від’ємник перевищує зменшуване. Природно звідси зробити висновок, що задача не має розв’язку. Але такий висновок не правильний.

            Розв’яжемо задачу інакше.

2. Розв’язання арифметичним способом

            Різниця років Вані і Тетянки з часом не змінюється і становить 15 – 9 = 6 (років). Отже, і тоді, коли Ваня буде в 2 рази старший за Тетянку, він буде старший за неї на 6 років.

Якщо вважатимемо роки Тетянки в той час за одну частину, то роки Вані становитимуть дві таких частини. Різниця 2ч – 1ч = 1ч і становить 6 років. Таким чином Тетянці в той час мало б бути 6 років, але зараз їй  9 років, отже, Ваня був у 2 рази старший за Тетянку 3 роки тому (9 – 6 = 3)

            Як же дістати ці 3 роки з формули х = 15 – 18? 15 – 18 = - 3.

         Отже, завдяки від’ємним числам дія віднімання стає завжди можливою. Хіба це не важливо?

І хіба тільки для цього не варто визнати від’ємні числа рівноправними.

         Щоб від’ємні числа не почували себе самотньо, кожне додатне число вибрало собі напарника – від’ємне число. Утворилися чудові пари. Назвемо їх протилежні числа

+ 1 і – 1

+ 2 і – 2

+0,7 і – 0,7 і т.д.

Тільки нуль залишився без пари, адже він не належить ні до додатних чисел, ні до від’ємних: - 0 = + 0 = 0

Цікаві вправи

1Замість зірочок поставте знаки + або —, а замість крапок — потрібні числа:

(*5) + (*7) = 2;

(*8) — (*8) — (*4) = 12;

(*9) + (*4) = - 5;

(— 15) —(*…) = 0;

(*2,4) • 5 = - …

(*8) + (*…) = - 12;

(*10) —(*...) = 12;

(*...) • (*4) = 0;

(*3) • (*...) • (*...) =  - 3;

 (-1) • (*1) :(*...) = 1. 

Софізм

Будь-яке від'ємне число дорівнює додатному:

- 6 + 6 = + 6 – 6;

- 6 • ( 1 – 1 ) = + 6 • ( 1 – 1 )

- 6 = (+ 6 • (1 — 1)) : (1 – 1);

-6 =  +6.

Відповідь. Ділити на нуль (1 - 1 = 0) не можна.

Пригоди Поспішайка

Кажуть: «Поспішиш—людей насмішиш».. Так тра­пилося і цього разу. Учитель дав завдання розв'язати рівняння:

Поспішайко пригадав розподільний закон множення

І миттю перетворив це рівняння так:

2 • ( х – 2 ) = 5 • ( х – 2 ).

А потім поділив обидві його частини на х — 2 і вийшло 2 = 5. (!)

З того, що 2 ≠ 5, Поспішайко зробив висновок, що задане рівняння не має розв'язку.

Але чи правильно це? Давайте замість х підставимо в рівняння значення 2. Тоді матимемо: 2 • 2 — 4 = 5 • 2 — 10. тобто 0 = 0.

Як бачимо, Поспішайко загубив розв'язок х = 2.

Допоможіть йому розшукати загублений корінь рів­няння.

Які це числа?

Знайдіть два числа, сума яких, добуток і частка від ділення одного з них на друге рівні між собою.

а + в = ав = а  : в

В і д п о в і д ь. 0,5 і - 1:

ПОДІЛЬНІСТЬ НАТУРАЛЬНИХ ЧИСЕЛ

ДІЛЬНИКИ І КРАТНЕ

НАЙБІЛЬШИЙ СПІЛЬНИЙ ДІЛЬНИК І НАЙМЕНШЕ СПІЛЬНЕ КРАТНЕ 

Поняття дільника і кратного даного числа краще вводити паралельно. Можна розпочати з такого завдання: «В одній із старих легенд говориться: Батько, поми­раючи, заповів трьом синам поділити між собою 19 верблю­дів. Старший син мав одержати половину, середній — четверту

частину, а наймолодший — п’яту частину всіх верблюдів. Довго не могли брати поділитись, адже 19 не ділиться ні на 2, ні на 4, ні на 5. Тоді вони звернулися до мудреця, що їхав на верблюді. І він виконав заповіт батька так, що всі сини залишилися задоволеними. Як це він зробив?»

Відповідь. Мудрець додав до 19 верблюдів ще й свого і 20 верблюдів поділив на 2, 4, і 5. Старший син одержав 10 верблюдів, середній 5 наймолодший—4, а мудрецю залишився його верблюд.      

Учитель підводить дітей до висновку, що 20 е число, ратне 2, 4, 5, а 19 не є кращим жодного з цих чисел; 2, 4, 5 є дільниками числа 20, але не є дільниками числа 19.

Після цього можна дати означення дільника і кратного, а потім розв'язати за підручником відповідні вправи. Смисл поняття найменшого спільного кратного чисел ні більш глибоко усвідомлюють, розв’язуючи, наприклад, задачу на

знаходження найменшого спільного кратного чи­сел першого десятка, подану у формі цікавої розповіді.

У центральному парку науки і відпочинку

  Магістра Неуважних Наук запросили на масове гуляння в центральний парк науки і відпочинку. Та не до гуляння було йому в цей день. Директор парку назвав число запрошених гостей і попросив бувалого математика підра­хувати, скільки треба підготувати столів, щоб за кожним сиділо порівну, але не більше від 9 чоловік.

Великому Магістрові було зрозуміло, що одному чо­ловікові сидіти за столом не цікаво (та й де взяти стільки столів!), і тому він почав підраховувати, скільки треба сто­лів. щоб за кожним столам сиділо по двоє. Але швидко ви­явилося, що одному гостеві доведеться сидіти за столом самому. Тоді він вирішив посадити за столом по троє гос­тей, та знову одному з гостей довелося б тоді сидіти самому. Спробував розсадити по чотири, а потім по п’ять чоловік за столиком, потім по 6, по 7, по 8 і навіть по 9. І що ви собі думаєте,— знову безрезультатно! Щоразу виходило так, що один чоловік повинен сидіти сам.

Утомлений невдачею, він викреслив себе з числа гостей парку і... враз дістав напрочуд цікаве число, яке поділи­лося на всі числа першого десятка без остачі. Недарма ж це число зображено на одній з єгипетських пірамід, адже воно є найменшим спільним кратним усіх чисел першого десятка.

Яке це число? Скільки було гостей у парку?

Розв'язаин я. НСК (1, 2, 3, 4, 5, 6. 7, 8. 9, 10) =

9 •  8 •  7 • 5 = 2520. Отже гостей було 2521.

Семеро друзів

У Миколи було сім вірних друзів. Перший провідував його кожного вечора, другий — кожного другого вечора, третій — кожного третього вечора і т. д., сьомий — кожного сьомого вечора. Чи часто траплялося так, що всі семеро друзів попадали до Миколи в один і той самий вечір?

Відповідь. Кожний 420-й вечір,

бо НСК (2, 3, 4, 5, 6,7) = 420.

ОЗНАКИ ПОДІЛЬНОСТІ.

ПОДІЛЬНІСТЬ СУМИ, РІЗНИЦІ І ДОБУТКУ

Цікаві вправи

1. У числах 651 і 5211 переставте цифри так, щоб кожне з них поділилось на 2; на 5;

2. Скільки чисел від 1 до 20;

а)         ділиться на 2; на 3; на 5; на 2 і 3; на 2 і 5; на 3 і 5; на 2, 3 і 5;

б)        ділиться на 2, але не ділиться на 3; ділиться на З, але не ділиться на 2;

в)         не ділиться на 2; не ділиться на 3: не ділиться ні на 2, ні на З?

3. Яке число ділиться на всі інші числа без остачі?

Відповідь. Нуль.

Парно чи непарне?

Парне чи непарне буде число, якщо:

1.додати: а) два парних числа; б) три парних; в) два непарних; г) три непарних;

2.відняти: а) від парного числа парне; б) від парного непарне; в) від непарного парне;

3.помножити: а) парне число на непарне; б) парне на парне; в) непарне на непарне?

Скільки коштує килим?

 - Скільки коштує килим? — запитав покупець у про­давця.

- Вартість його в гривнях — найбільше число першої сотні, яке ділиться на 2, 3 і 5.

 - А за скільки віддаси його? — продовжував поку­пець.

 - Спочатку заплати половину. потім третину і ще шосту частину вартості ки­лима, та й вистачить з тебе.

Покупець погодився. Яка вартість килима І скільки за нього вторговано.

В і д п о в і д ь. 90 грн.

Історична довідка

Ознаки подільності чисел на 2, 3 і 5 були відомі ще в дав­ні часи. Так. наприклад, ознаку подільності на 2 знали древні єгиптяни за 2 тисячі років до н. е. Ознака подільності на 9 була відома грекам в III ст. до н. е. В літературі ознаки подільності па 2, З і б вперше зустрічаються у Ле­онардо Пізанського (XIII ст. н. с.).

Ігри

Лічба по порядку

Учитель пропонує учням (по одному) лічити по порядку  від 1, але замість чисел, які діляться на 3, говориш «хоп»: один, два, хол, чотири, п’ять, хол. сім, вісім, хол, ...). Хто збився, виходить з гри.

•Можна провести таку гру, вивчаючи подільність чисел на 5.

Дільники

Клас поділяється на три групи: «дільники» 2, З і 5. Учитель називає яке-небудь число і пропонує

підняти ру­ки учням тієї групи «дільників», на які ділиться число. Числа треба підбирати так, щоб вони ділилися не тільки на один з дільників 2, 3, 5, а й на два з них чи на всі одно­часно: 30, 16, 25, 105,310 і т. д.

«Поспішиш — людей насмішиш!»

-Я хотів провідати хворого товариша і взяв його адресу в канцелярії школи, — говорить Поспішайко.— Вулицю запам'ятав, а номер будинку забув. Пам’ятаю тільки, що він не ділиться на 2. А тільки я його помножив на 5, так він і поділився на 2.

А як думаєте ви, діти? Чи не помилився Поспішайко?

Відповідь. Помилився. Якщо непарне число по­множити на непарне, то дістанемо число непарне.

Цікаві вправи

1. Запишіть множину чисел кратних З і 5 одночасно. Скінченною чи нескінченною буде ця множина?

2.Замість зірочки поставте цифру так щоб отримані числа були кратні 5. Розгляньте всі можливі випадки.

а) 142*; б) 32*5.

3. Замість зірочки в числі 132* поставте цифру щоб число ділилося на  2; на 3; на 2 і на 3 одночасно. Розгляньте всі можливі випадки.